Question

12．若直角坐标平面内两相异点A、B两点满足：
①点A、B都在函数 f （x） 的图象上；②点A、B关于原点对称，
则点对 （A，B） 是函数 f （x） 的一个“姊妹点对”．点对 （A，B） 与 （B，A） 可看作是同一个“姊妹点对”．已知函数 f （x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x＜0}\\{\frac{x+1}{e}，x≥0}\end{array}\right.$，则 f （x） 的“姊妹点对”有（　　）

• A． 0 个
• B． 1 个
• C． 2 个
• D． 3 个

Answer 1

分析 设点A（x，y）（x＜0）在f（x）的图象上，则点B（-x，-y）也在f（x）的图象上，
$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x}\\{-y=\frac{-x+1}{e}}\end{array}\right.$⇒ex²+（2e-1）x+1=0，令g（x）=ex²+（2e-1）x+1，判定方程ex²+（2e-1）x+1=0负实根个数即可．

解答 解：设点A（x，y）（x＜0）在f（x）的图象上，则点B（-x，-y）也在f（x）的图象上，
$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x}\\{-y=\frac{-x+1}{e}}\end{array}\right.$⇒ex²+（2e-1）x+1=0，令g（x）=ex²+（2e-1）x+1，二次函数g（x）的对称轴x=$\frac{2e-1}{-2e}＜0$，g（0）=1＞0，△=（2e-1）²-4e＞0，
∴方程ex²+（2e-1）x+1=0有两个负实根，故函数 f （x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x＜0}\\{\frac{x+1}{e}，x≥0}\end{array}\right.$，则 f （x） 的“姊妹点对”有2个．
故选：B．

点评 本题考查了学生对新定义的接受能力及导数的综合应用，同时考查了零点个数的判断，属于中档题