Question

10．已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，过点F作直线l交抛物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线l的斜率为k，经过A、B两点分别作抛物线C的切线l₁、l₂，若切线l₁与l₂相交于点M．当k变化时，点M的纵坐标是否为定值？若是，求出这个定值；否则，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），半焦距为c．由已知条件，得F（0，1），$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又b=1，a²=b²+c²，解出即可得出．
（2）假设点M的纵坐标为定值．直线l的斜率为k，且过F（0，1）故可设直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与抛物线方程联立可得x²-4kx-4=0，可得y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=4k²+2，${x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}$=4（y₁+y₂）=16k²+8．另一方面，利用导数的几何意义可得：过抛物线C上A、B两点的切线方程分别是l₁：$y=\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁）+y₁，l₂：y=$\frac{{x}_{2}}{2}$（x-x₂）+y₂，化简整理进而得出．

解答 解：（1）设椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），半焦距为c．
由已知条件，得F（0，1），$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又b=1，a²=b²+c²，
解得a=2，b=1．
∴椭圆E的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．）
（2）假设点M的纵坐标为定值．
∵直线l的斜率为k，且过F（0，1）故可设直线l的方程为y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=kx+1}\end{array}\right.$，消去y并整理得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4．且x₁≠x₂．
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=4k²+2．
${x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}$=4（y₁+y₂）=16k²+8．
∵抛物线C的方程为y=$\frac{{x}^{2}}{4}$，求导得y′=$\frac{1}{2}x$，
∴过抛物线C上A、B两点的切线方程分别是
l₁：$y=\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁）+y₁，l₂：y=$\frac{{x}_{2}}{2}$（x-x₂）+y₂，
依题意，相减可得：$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}$[x-（x₁+x₂）]+y₁-y₂=0，
∵x₁+x₂=4k，且x₁≠x₂，y₁-y₂=k（x₁-x₂），代入可得x=2k，）
∴2y=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$x-$\frac{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}}{2}$+y₁+y₂=$\frac{4k}{2}×2k$-$\frac{16{k}^{2}+8}{2}$+4k²+2=-2，
∴y=-1．
即点M的纵坐标为定值-1．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、抛物线的切线、导数的应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．