Question

13．已知函数f（x）=$\frac{a}{x}$+lnx-1，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，y₀）处的切线平行于直线y=-x+1，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使函数y=f（x）在x∈（0，e]上有最小值1？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据曲线y=f（x）在P（1，y₀）处的切线平行于直线y=-x+1，则f′（1）=-1，求出a，对函数求导，l利用导函数，在定义域中求出函数的单调区间．
（2）f′（x）=$\frac{-a}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}=\frac{x-a}{{x}^{2}}$，分a≤0，a≥e，0＜e＜e讨论函数的最小值，建立有关a的方程，求出a即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵y=f（x）在点P（1，y₀）处的切线平行于直线y=-x+1，
∴f′（1）=-1，f′（x）=$\frac{-a}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}=\frac{x-a}{{x}^{2}}$，则f′（1）=1-a=-1，解得a=2，
此时f′（x）=$\frac{x-2}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＞0，解得x＞2，此时函数单调递增，增区间为（2，+∞），
由f′（x）＜0，解得0＜x＜2，此时函数单调递增，减区间为（0，2）．
（2）f′（x）=$\frac{-a}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}=\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
1）当a≤0时，f′（x）≥0在（0，e]上恒成立，f（x）在（0，e]上递增，故不存在最小值．
2）当a≥e时，f′（x）≤0在（0，e]上恒成立，f（x）在（0，e]上递减，故存在最小值为f（e）=$\frac{a}{e}=1$，⇒a=e符合题意．
3）0＜a＜e时，f′（x）≥0在（a，e]上恒成立，f（x）在（a，e]上递增，f′（x）≤0在（0，a]上恒成立，f（x）在（0，a]上递减，
故存在最小值为f（a）=lna=1⇒a=e不符合题意．
综上，存在实数a=e，使函数y=f（x）在x∈（0，e]上有最小值1．

点评 本题考查函数的导数综合应用，解题的关键是根据参数的不同取值讨论函数的导函数的正负确定函数的单调区间，从而确定最小值，属于中档题．