Question

1．已知抛物线C：x²=2py（p＞0），过其焦点作斜率为1的直线l交抛物线C于M、N两点，且|MN|=16．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知动圆P的圆心在抛物线C上，且过定点D（0，4），若动圆P与x轴交于A、B两点，求$\frac{|DA|}{|DB|}$+$\frac{|DB|}{|DA|}$的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}y=x+\frac{p}{2}\\{x^2}=2py\end{array}\right.$，得x²-2px-p²=0，利用韦达定理，结合|MN|=16，求抛物线C的方程；
（Ⅱ）求出$\frac{|DA|}{|DB|}$的范围，再借助于导数，即可求$\frac{|DA|}{|DB|}$+$\frac{|DB|}{|DA|}$的最大值．

解答 解：（Ⅰ）设抛物线的焦点为$F（0，\frac{p}{2}）$，则直线$l：y=x+\frac{p}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}y=x+\frac{p}{2}\\{x^2}=2py\end{array}\right.$，得x²-2px-p²=0-------------（2分）
∴x₁+x₂=2p，∴y₁+y₂=3p，∴|MN|=y₁+y₂+p=4p=16，
∴p=4，∴抛物线C的方程为x²=8y------------（4分）
（Ⅱ）设动圆圆心P（x₀，y₀），A（x₁，0），B（x₂，0），则$x_0^2=8{y_0}$，
且圆$P：{（x-{x_0}）^2}+{（y-{y_0}）^2}=x_0^2+{（{y_0}-4）^2}$，
令y=0，整理得：${x^2}-2{x_0}x+x_0^2-16=0$，
解得：x₁=x₀-4，x₂=x₀+4，-------------（4分）
设$t=\frac{|DA|}{|DB|}=\sqrt{\frac{{{{（{x_0}-4）}^2}+16}}{{{{（{x_0}+4）}^2}+16}}}=\sqrt{\frac{{x_0^2-8{x_0}+32}}{{x_0^2+8{x_0}+32}}}=\sqrt{1-\frac{{16{x_0}}}{{x_0^2+8{x_0}+32}}}$，
当x₀=0时，t=1，?
当x₀≠0时，$t=\sqrt{1-\frac{16}{{{x_0}+8+\frac{32}{x_0}}}}$，
∵x₀＞0，∴${x_0}+\frac{32}{x_0}≥8\sqrt{2}$，∴$t≥\sqrt{1-\frac{16}{{8+8\sqrt{2}}}}=\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$，且t＜1，?
综上??知$\sqrt{2}-1≤t≤1$，-------------（8分）
∵$f（t）=t+\frac{1}{t}$在$[\sqrt{2}-1，1]$单调递减，
∴$\frac{|DA|}{|DB|}+\frac{|DB|}{|DA|}=t+\frac{1}{t}≤\sqrt{2}-1+\frac{1}{{\sqrt{2}-1}}=2\sqrt{2}$，
当且仅当$t=\sqrt{2}-1$，即${x_0}=4\sqrt{2}$时等号成立．
所以$\frac{|DA|}{|DB|}+\frac{|DB|}{|DA|}$的最大值为$2\sqrt{2}$．-------------（12分）

点评 本题考查了抛物线与圆的标准性质及其性质、导数知识的运用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．