Question

13．抛物线C：y²=2px（p＞0），过点F（1，0）的直线l与C交于M，N两点，且△MON（O为坐标原点）面积的最小值为2
（1）求抛物线C的方程；
（2）直线l上的点Q满足$\frac{2}{{|FQ{|^2}}}=\frac{1}{{|FM{|^2}}}+\frac{1}{{|FN{|^2}}}$，求点Q的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，求出△MON（O为坐标原点）面积的最小值，即可求抛物线C的方程；
（2）分类讨论，利用直线l上的点Q满足$\frac{2}{{|FQ{|^2}}}=\frac{1}{{|FM{|^2}}}+\frac{1}{{|FN{|^2}}}$，求出弦长，即可求点Q的轨迹方程．

解答 解：（1）①当l⊥x时，l：x=1，${y_M}=\sqrt{2p}$，${S_△}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2p}×1=\sqrt{2p}=2，p=2$
②当l斜率存在时，设l：y=k（x-1）与y²=2px联立，得k²x²-（2k²+2p）+k²=0，${S_△}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2p+\frac{{4{p^2}}}{k^2}}＞\sqrt{2p}$，所以当l⊥x时面积最小，
所以p=2，抛物线方程为y²=4x…（6分）
（2）设Q（x，y），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
①当l⊥x时，l：x=1，y₁=2，y₂=-2，点Q（1，±2）
②当l斜率存在时，设l：y=k（x-1）与y²=4x联立，得k²x²-（2k²+4）+k²=0，
|FQ|²=（1+k²）（x-1）²，$|FM{|^2}=（1+{k^2}）{（{x_1}-1）^2}$，$|FN{|^2}=（1+{k^2}）{（{x_2}-1）^2}$，
由$\frac{2}{{|FQ{|^2}}}=\frac{1}{{|FM{|^2}}}+\frac{1}{{|FN{|^2}}}$得$\frac{2}{{{{（x-1）}^2}}}=\frac{1}{{{{（{x_1}-1）}^2}}}+\frac{1}{{{{（{x_2}-1）}^2}}}=\frac{{{{（{x_1}-1）}^2}+{{（{x_2}-1）}^2}}}{{{{（{x_1}-1）}^2}{{（{x_2}-1）}^2}}}$=$\frac{k^2}{2}+1$，
因为$k=\frac{y}{x-1}$，所以$\frac{2}{{{{（x-1）}^2}}}=\frac{y^2}{{2{{（x-1）}^2}}}+1（x≠1）$，
化简得2（x-1）²+y²=4（x≠±1），Q（1，±2）也符合．
所以点Q的轨迹方程为2（x-1）²+y²=4…（6分）

点评 本题考查轨迹方程，考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．