Question

1．已知抛物线：y²=2px（p＞0）的焦点F在双曲线：$\frac{x^2}{3}$-$\frac{y^2}{6}$=1的右准线上，抛物线与直线l：y=k（x-2）（k＞0）交于A，B两点，AF，BF的延长线与抛物线交于C，D两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）若△AFB的面积等于3，求k的值；
（3）记直线CD的斜率为k_CD，证明：$\frac{{{k_{CD}}}}{k}$为定值，并求出该定值．

Answer 1

分析 （1）根据双曲线的右准线方程求出抛物线的焦点F，得出焦距p，即可写出抛物线方程；
（2）设出抛物线上两点A、B的坐标，由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（x-2）\end{array}\right.$消去x，根据△AFB的面积和根与系数的关系即可求出k的值；
（3）设出抛物线上点C、D，利用向量法和三点共线的知识，求出点C与D的坐标表示，再计算CD的斜率，即可证明$\frac{{{k_{CD}}}}{k}$为定值．

解答 解：（1）双曲线：$\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{6}=1$的右准线方程为：x=1；
所以抛物线的焦点为F（1，0），p=2；
所以抛物线的方程为：y²=4x；…（4分）
（2）设抛物线上两点$A（\frac{y_1^2}{4}，{y_1}），B（\frac{y_2^2}{4}，{y_2}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=k（x-2）\end{array}\right.$，
得ky²-4y-8k=0，
所以△=16+32k²＞0，
${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}，{y_1}{y_2}=-8$；
△AFB的面积为
${S_{△AFB}}=\frac{1}{2}×1×|{{y_1}-{y_2}}|=\frac{1}{2}\sqrt{{{（{y_1}+{y_2}）}^2}-4{y_1}{y_2}}$=$2\sqrt{\frac{1}{k^2}+2}=3$；
解得k=2；…（8分）
（3）设抛物线上点$C（\frac{y_3^2}{4}，{y_3}）$，
则$\overrightarrow{FA}=（\frac{y_1^2}{4}-1，{y_1}），\overrightarrow{FC}=（\frac{y_3^2}{4}-1，{y_3}）$；
因为A，F，C共线，
所以$（\frac{y_1^2}{4}-1）{y_3}-{y_1}（\frac{y_3^2}{4}-1）=0$，
即$y_3^2+（\frac{4}{y_1}-{y_1}）{y_3}-4=0$；
解得：y₃=y₁（舍）或${y_3}=-\frac{4}{y_1}$；
所以$C（\frac{4}{y_1^2}，-\frac{4}{y_1}）$，
同理$D（\frac{4}{y_2^2}，-\frac{4}{y_2}）$，
所以${k_{CD}}=\frac{{-\frac{4}{y_1}+\frac{4}{y_2}}}{{\frac{4}{y_1^2}-\frac{4}{y_2^2}}}$=$-\frac{{{y_1}{y_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}=2k$，
故$\frac{{{k_{CD}}}}{k}=2$为定值．…（12分）

点评 本题考查了直线与双曲线、直线与抛物线的应用问题，也考查了弦长公式以及根与系数的应用问题，是综合性题目．