Question

13．已知点O是三角形ABC的边BC靠近B的一个三等分点，过点O的直线交直线AB、AC分别于M、N；$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{AC}$，则$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$=3．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{AM}，AN$表示出$\overrightarrow{AO}$，根据M，N，O三点共线得出结论．

解答 解：连接AO，∵$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=n\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AB}=\frac{1}{m}\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{n}\overrightarrow{AN}$，
∵$\overrightarrow{AO}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{2}{3m}\overrightarrow{AM}$+$\frac{1}{3n}\overrightarrow{AN}$，
∵M，O，N三点共线，
∴$\frac{2}{3m}+\frac{1}{3n}$=1，∴$\frac{2}{m}+\frac{1}{n}$=3．
故答案为3．

点评 本题考查了平面向量的几何运算，平面向量的共线定理，属于中档题．