Question

4．已知A，B是圆O：x²+y²=4上的两个动点，P是线段A，B上的动点，当△AOB的面积最大时，$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AP}-{\overrightarrow{AP}^2}$的最大值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意知当∠AOB=$\frac{π}{2}$时，S取最大值2，此时OA⊥OB建立坐标系可得A、B、P的坐标，可得$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AP}-{\overrightarrow{AP}^2}$为关于x的二次函数，由二次函数的最值可得．

解答 解：由题意知：△AOB的面积S=$\frac{1}{2}|OA||OB|$sin∠AOB
=$\frac{1}{2}$×2×2×sin∠AOB=2sin∠AOB，
当∠AOB=$\frac{π}{2}$时，S取最大值2，此时OA⊥OB，
如图所示，不妨取A（2，0），B（0，2），设P（x，2-x）
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AP}-{\overrightarrow{AP}^2}$=$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{PO}$
=（x-2，2-x）•（-x，x-2）
=-x（x-2）+（2-x）（x-2）
=（x-2）（2-2x）=-2x²+6x-1，x∈[0，2]
当x=$\frac{3}{2}$时，上式取最大值$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角形的面积公式和二次函数的最值，属中档题．