Question

9．如图，在直三棱柱ADF-BCE中，AB=BC=BE=2，CE=$2\sqrt{2}$．
（1）求证：AC⊥平面BDE；
（2）若EB=4EK，求直线AK与平面BDF所成角φ的正弦值．

Answer 1

分析 （1）证出AC⊥BD，BE⊥AC，即可证明AC⊥平面BDE；
（2）若EB=4EK，结论坐标系，利用向量方法求直线AK与平面BDF所成角φ的正弦值．

解答 （1）证明：由题意，AB⊥BE，AB⊥BC．
∵AB=BC=BE=2，CE=$2\sqrt{2}$，
∴BC²+BE²=CE²，AC⊥BD，
∴BE⊥BC．
∵AB∩BC=B，
∴BE⊥平面ABCD，
∴BE⊥AC，
∵BD∩BE=B，
∴AC⊥平面BDE；
（2）解：建立如图所示的坐标系，
则B（0，0，0），F（0，2，2），A（0，2，0），D（2，2，0），
$\overrightarrow{BD}$=（2，2，0），$\overrightarrow{BF}$=（0，2，2），
∵EB=4EK，
∴K（0，0，$\frac{3}{2}$）．
设平面BDF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y=0}\\{2y+2z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
∵$\overrightarrow{AK}$=（0，-2，$\frac{3}{2}$）．
∴直线AK与平面BDF所成角φ的正弦值=$\frac{|2+\frac{3}{2}|}{\sqrt{3}×\sqrt{4+\frac{9}{4}}}$=$\frac{7\sqrt{3}}{15}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．