Question

14．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{2^x}-\frac{a}{3}，x≤0}\\{lnx-2x+a，x＞0}\end{array}}$有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1+ln2，3]
• B． （ln2，3]
• C． （0，1+ln2）
• D． （0，3]

Answer 1

分析 求出当x＞0时的函数的导数，研究函数的极值，利用分段函数的性质进行判断求解即可．

解答 解：当x＞0时，函数f（x）=lnx-2x+a，此时函数的导数f′（x）=$\frac{1}{x}$-2=$\frac{1-2x}{x}$，
由f′（x）＞0得0＜x＜$\frac{1}{2}$，此时函数递增，
由f′（x）＜0得x＞$\frac{1}{2}$，此时函数递减，
即当x=$\frac{1}{2}$时，函数取得极大值，f（$\frac{1}{2}$）=ln$\frac{1}{2}$-1+a=-1-ln2+a，
当x→0时，f（x）=lnx-2x+a→-∞，
当x≤0时，函数f（x）=2^x-$\frac{a}{3}$为增函数，且此时-$\frac{a}{3}$＜f（x）≤1-$\frac{a}{3}$，
要使函数f（x）有三个不同的零点，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{3}＜0}\\{1-\frac{a}{3}≥0}\\{-1-ln2+a＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≤3}\\{a＞1+ln2}\end{array}\right.$，
即1+ln2＜a≤3，
即实数a的取值范围是（1+ln2，3]，
故选：A．

点评 本题考查根的存在性及根的个数的判断，数形结合以及求函数的导数判断函数的极值是解决问题的关键，属中档题