Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-$\frac{3}{2}{x^2}$+2x+3a+b恰有3个不同的零点，则f（0）的取值范围是（-$\frac{5}{6}$，-$\frac{2}{3}$）．

Answer 1

分析 求函数的导数，求出函数的极大值和极小值，利用函数f（x）恰有3个不同的零点，转化为f（x）_极大＞0且f（x）_极小＜0，求出a，b的关系即可得到结论．

解答 解：函数的导数为f′（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2），
由f′（x）＞0得x＞2或x＜1，此时函数单调递增，
由f′（x）＜0，得1＜x＜2，此时函数单调递减，
即当x=1时，函数取得极大值，f（1）=$\frac{1}{3}-\frac{3}{2}$+2+3a+b=$\frac{5}{6}$+3a+b，
即当x=2时，函数取得极小值，f（2）=$\frac{8}{3}-$6+4+3a+b=$\frac{2}{3}$+3a+b，
若函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}$-$\frac{3}{2}{x^2}$+2x+3a+b恰有3个不同的零点，
则f（x）_极大＞0且f（x）_极小＜0，
即f（x）_极大=$\frac{5}{6}$+3a+b＞0且f（x）_极小=$\frac{2}{3}$+3a+b＜0，
则-$\frac{5}{6}$＜3a+b＜-$\frac{2}{3}$，
则f（0）=3a+b，
即f（0）的取值范围是（-$\frac{5}{6}$，-$\frac{2}{3}$），
故答案为：（-$\frac{5}{6}$，-$\frac{2}{3}$）

点评 本题主要考查函数零点的应用，求函数的导数，利用函数极值和函数的导数的关系是解决本题的关键．