Question

15．中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受．如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长30cm，宽26cm，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称．设菱形的两条对角线长分别为xcm和ycm，窗芯所需条形木料的长度之和为L．
（1）试用x，y表示L；
（2）如果要求六根支条的长度均不小于2cm，每个菱形的面积为130cm²，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？

Answer 1

分析 （1）分别求出水平方向每根支条长、竖直方向每根支条长、菱形的边长，即可用x，y表示L；
（2）$L=82+4\sqrt{{x^2}+{{（\frac{260}{x}）}^2}}-2（x+\frac{260}{x}）$．换元，求导确定函数的单调性，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，水平方向每根支条长为$m=\frac{30-2x}{2}=15-x$ cm，竖直方向每根支条长为$n=\frac{26-y}{2}=13-\frac{y}{2}$ cm，菱形的边长为$\sqrt{{{（\frac{x}{2}）}^2}+{{（\frac{y}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{2}$ cm．
从而，所需木料的长度之和L=$2（15-x）+4（13-\frac{y}{2}）+8×\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{2}$=$82+4\sqrt{{x^2}+{y^2}}-2（x+y）$ cm．
（2）由题意，$\frac{1}{2}xy=13$，即$y=\frac{260}{x}$，
又由$\left\{{\begin{array}{l}{15-x≥2}\\{13-\frac{y}{2}≥2}\end{array}}\right.$ 可得$\frac{130}{11}≤x≤13$．所以$L=82+4\sqrt{{x^2}+{{（\frac{260}{x}）}^2}}-2（x+\frac{260}{x}）$．
令$t=x+\frac{260}{x}$，其导函数$1-\frac{260}{x^2}＜0$ 在$\frac{130}{11}≤x≤13$ 上恒成立，
故$t=x+\frac{260}{x}$ 在$[\frac{130}{11}，13]$ 上单调递减，
所以可得$t∈[33，\frac{372}{11}]$．
则$L=82+2[2\sqrt{{{（x+\frac{260}{x}）}^2}-520}-（x+\frac{260}{x}）]$=$82+2[\sqrt{{t^2}-520}+\sqrt{{t^2}-520}-t]$
=$82+2[\sqrt{{t^2}-520}+\frac{-520}{{\sqrt{{t^2}-520}+t}}]$．
因为函数$y=\sqrt{{t^2}-520}$ 和$y=\frac{-520}{{\sqrt{{t^2}-520}+t}}$ 在$t∈[33，\frac{372}{11}]$ 上均为增函数，
所以$L=82+2[\sqrt{{t^2}-520}+\frac{-520}{{\sqrt{{t^2}-520}+t}}]$ 在$t∈[33，\frac{372}{11}]$ 上为增函数，
故当t=33，即x=130，y=20 时L有最小值$16+4\sqrt{569}$．
答：做这样一个窗芯至少需要$16+4\sqrt{569}$ cm长的条形木料．

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定函数关系是关键．