Question

7．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，E是AD的中点，F是PC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）求直线EF与平面PBE所成角的余弦值．
（3）求平面PAD与平面PBC的二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （I）取PB的中点H，连接FH，AH．利用三角形中位线定理及其菱形的性质可得：AD$\underset{∥}{=}$BC，可得四边形AHFE是平行四边形，EF∥AH．即可证明AH∥平面PAB．
（II）连接BD，则△ABD是等边三角形，BE⊥AD，利用面面垂直的性质定理可得BE⊥平面PAD，BE⊥PE．又PE⊥AD，分别以EA，EB，EP为坐标轴结论空间直角坐标系E-xyz．取平面PBE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），直线EF与平面PBE所成角的正弦值=|$cos＜\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{n}|}$．
（III）设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$．取平面PAD的法向量$\overrightarrow{v}$=（0，1，0），利用∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{v}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{v}|}$即可得出．

解答 （I）证明：取PB的中点H，连接FH，AH．AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$BC，又HF是△PBC的中位线，HF∥BC，HF=$\frac{1}{2}$BC．
AD$\underset{∥}{=}$BC，
∴AE∥HF，AE=HF．
∴四边形AHFE是平行四边形．
∴EF∥AH．
又EF?平面PAB，AH?平面PAB
∴AH∥平面PAB．
（II）解：连接BD，则△ABD是等边三角形，∴BE⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BE⊥平面PAD，∴BE⊥PE，
又PE⊥AD，分别以EA，EB，EP为坐标轴建立空间直角坐标系E-xyz．
则E（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-2，$\sqrt{3}$，0），F（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{EF}$=（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
取平面PBE的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
∴直线EF与平面PBE所成角的正弦值=|$cos＜\overrightarrow{EF}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{|\overrightarrow{EF}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{EF}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{1+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直线EF与平面PBE所成角的余弦值=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{10}}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
（III）解：$\overrightarrow{BC}$=（-2，0，0），$\overrightarrow{PB}$=（0，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
设平面PBC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-2x=0}\\{\sqrt{3}y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（0，1，1）．
取平面PAD的法向量$\overrightarrow{v}$=（0，1，0），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{v}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{v}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴平面PAD与平面PBC的二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了空间位置关系及其空间角、法向量的应用、向量夹角公式、三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、菱形与等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．