Question

7．在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）如果P为线段VC的中点，求证：VA∥平面PBD；
（Ⅱ）如果正方形ABCD的边长为2，求A到平面VBD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC、BD，交于点O，连结OP，则OP∥PA，由此能证明VA∥平面PBD．
（Ⅱ）取AD中点E，BC中点F，连结VE，EF，以E为原点，EA为x轴，EF为y轴，EV为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能出点A到平面VBD的距离．

解答 证明：（Ⅰ）连结AC、BD，交于点O，连结OP，
∵底面ABCD是正方形，∴O是AC中点，
∵P为线段VC的中点，∴OP∥PA，
∵OP?平面PBD，VA?平面PBD，
∴VA∥平面PBD．
解：（Ⅱ）取AD中点E，BC中点F，
连结VE，EF，
∵四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，
侧面VAD是正三角形，
平面VAD⊥底面ABCD，
正方形ABCD的边长为2，
∴以E为原点，EA为x轴，EF为y轴，EV为z轴，
建立空间直角坐标系，
V（0，0，$\sqrt{3}$），A（1，0，0），B（1，2，0），D（-1，0，0），
$\overrightarrow{VA}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{VB}$=（1，2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{VD}$=（-1，0，-$\sqrt{3}$），
设平面VBD有法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{VB}=x+2y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{VD}=-x-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（-3，3，$\sqrt{3}$），
∴点A到平面VBD的距离d=$\frac{|\overrightarrow{VA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6}{\sqrt{21}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．