Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，PA⊥平面ABCD．
（1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；
（2）棱PD上是否存在一点E满足∠AEC=90°？若存在，求AE的长；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{PB}$，平面PCD的法向量，即可求PB与平面PCD所成角的正弦值；
（2）假设存在E符合条件，设$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PD}（0≤λ≤1）$，则由∠AEC=90°得，$\overrightarrow{AE}•$$\overrightarrow{CE}=2λ（2λ-1）+（1-λ{）^2}=0$，列出方程，判定方程在[0，1]上是否有解即可得出结论．

解答 解：（1）依题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP
为x，y，z轴建立空间直角坐标系O-xyz，则P（0，0，1），
B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），
从而$\overrightarrow{PB}=（1，0，-1）$，$\overrightarrow{PC}=（1，1，-1）$，$\overrightarrow{PD}=（0，2，-1）$，
设平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），即$\left\{\begin{array}{l}{a+b-c=0}\\{2b-c=0}\end{array}\right.$，
不妨取c=2，则b=1，a=1，
所以平面PCD的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），（4分）
此时cos＜$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{1-2}{\sqrt{2}×\sqrt{6}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
所以PB与平面PCD所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$；（6分）
（2）设$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PD}（0≤λ≤1）$，则E（0，2λ，1-λ），
则$\overrightarrow{CE}=（-1，2λ-1，1-λ）$，$\overrightarrow{AE}=（0，2λ，1-λ）$，
由∠AEC=90°得，$\overrightarrow{AE}•$$\overrightarrow{CE}=2λ（2λ-1）+（1-λ{）^2}=0$，
化简得，5λ²-4λ+1=0，该方程无解，
所以，棱PD上不存在一点E满足∠AEC=90°．（10分）

点评 本题考查了空间向量的应用，线面角的计算，属于中档题．