Question

6．已知正数a，b满足a+b=1．
（1）求ab的取值范围；
（2）求ab+$\frac{1}{ab}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式的性质即可得出．
（2）令ab=x∈$（0，\frac{1}{4}]$．f（x）=x+$\frac{1}{x}$，利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：（1）∵正数a，b满足a+b=1，∴1$≥2\sqrt{ab}$，解得ab$≤\frac{1}{4}$，当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时取等号，
∴ab∈$（0，\frac{1}{4}]$．
（2）令ab=x∈$（0，\frac{1}{4}]$．f（x）=x+$\frac{1}{x}$，f′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，因此函数f（x）在x∈$（0，\frac{1}{4}]$单调递减，
∴f（x）≥$f（\frac{1}{4}）$=$\frac{17}{4}$．
∴当且仅当ab=$\frac{1}{4}$时，ab+$\frac{1}{ab}$取得最小值$\frac{17}{4}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．