Question

10．已知直线l：kx+y+1+2k=0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴负半轴于B，记△AOB的面积为S，求S的最小值，并求此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可知：直线l 的方程是：k（x+2）+（1+y）=0，令$\left\{{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{1+y=0}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}}\right.$，因此无论k 为何值，直线l 过定点（-2，-1）；
（2）直线l 在x 轴上截距为$-\frac{1+2k}{k}（k≠0）$，在y 轴上的截距为-（1+2k），求得A，B坐标，则$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1+2k}{k}＜0}\\{1+2k＞0}\end{array}\right.$，求得k＞0，由三角形的面积公式可知：$S=\frac{1}{2}•|{OA}|•|{OB}|=\frac{1}{2}•|{\frac{1+2k}{k}}|•|{1+2k}|=\frac{1}{2}•\frac{{{{（1+2k）}^2}}}{k}$=$\frac{1}{2}（4k+\frac{1}{k}+4）≥\frac{1}{2}（2×2+4）=4$，当$4k=\frac{1}{k}$，即$k=\frac{1}{2}$，“=”成立的条件，即可求得直线l的方程．

解答 解：（1）证明：直线l 的方程是：k（x+2）+（1+y）=0，（2分），
令$\left\{{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{1+y=0}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-1}\end{array}}\right.$，
∴无论k 为何值，直线l 过定点（-2，-1）．（4分）
（2）解：由方程知：直线l 在x 轴上截距为$-\frac{1+2k}{k}（k≠0）$，在y 轴上的截距为-（1+2k），
故：$A（-\frac{1+2k}{k}，0），B（0，-（1+2k））$．（6分）
由题意：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1+2k}{k}＜0}\\{1+2k＞0}\end{array}\right.$，解得：k＞0，
∵$S=\frac{1}{2}•|{OA}|•|{OB}|=\frac{1}{2}•|{\frac{1+2k}{k}}|•|{1+2k}|=\frac{1}{2}•\frac{{{{（1+2k）}^2}}}{k}$，（8分）
=$\frac{1}{2}（4k+\frac{1}{k}+4）≥\frac{1}{2}（2×2+4）=4$，（10分）
当且仅当k＞0 且$4k=\frac{1}{k}$，即$k=\frac{1}{2}$，“=”成立的条件，
∴S_min=4，此时l：x+2y+4=0．（12分）

点评 本题考查直线方程的应用，考查三角形的面积公式与基本不等式的综合应用，考查计算能力，属于中档题．