Question

10．定义在R上的函数g（x）及二次函数h（x）满足：g（x）+2g（-x）=e^x+$\frac{2}{e^x}$-9，h（-2）=h（0）=1，且h（-3）=-2．
（1）求g（x）和h（x）的解析式；
（2）对于x₁，x₂∈[-1，1]，均有h（x₁）+ax₁+5≥g（x₂）-x₂g（x₂）成立，求a的取值范围；
（3）设f（x）=$\left\{\begin{array}{l}g（x），（x＞0）\\ h（x），（x≤0）\end{array}$，在（2）的条件下，讨论方程f[f（x）]=a+5的解的个数情况．

Answer 1

分析 （1）通过-x代替x，推出方程，求解函数g（x）的解析式．利用h（x）是二次函数，且h（-2）=h（0）=1，可设h（x）=ax（x+2）+1，然后求解即可．
（2）设ϕ（x）=h（x）+ax+5=-x²+（a-2）x+6，F（x）=e^x-3-x（e^x-3）=（1-x）e^x+3x-3，转化条件为当-1≤x≤1时，ϕ（x）_min≥F（x）_max，通过函数的导数求解函数的最值，列出关系式即可求出实数a的取值范围．
（3）设t=a+5，由（2）知，画出函数在2≤t≤12f（x）的图象，设f（x）=T，则f（T）=t当t=2，当2＜t＜e²-3，当t=e²-3，当e²-3＜t≤12，分别判断函数的图象交点个数，得到结论．

解答 解：（1）∵$g（x）+2g（-x）={e^x}+\frac{2}{e^x}-9$，①$g（-x）+2g（x）={e^{-x}}+\frac{2}{{{e^{-x}}}}-9$，即$g（-x）+2g（x）=2{e^x}+\frac{1}{e^x}-9$，②
由①②联立解得：g（x）=e^x-3．…（2分）
∵h（x）是二次函数，且h（-2）=h（0）=1，可设h（x）=ax（x+2）+1，
由h（-3）=-2，解得a=-1．
∴h（x）=-x（x+2）+1=-x²-2x+1
∴g（x）=e^x-3，h（x）=-x²-2x+1．…（4分）
（2）设ϕ（x）=h（x）+ax+5=-x²+（a-2）x+6，F（x）=e^x-3-x（e^x-3）=（1-x）e^x+3x-3，
依题意知：当-1≤x≤1时，ϕ（x）_min≥F（x）_max
∵F'（x）=-e^x+（1-x）（e^x-3）+3=-xe^x+3，在[-1，1]上单调递减，
∴F'（x）_min=F'（1）=3-e＞0…（6分）
∴F（x）在[-1，1]上单调递增，∴F（x）_max=F（1）=0
∴$\left\{\begin{array}{l}ϕ（{-1}）=7-a≥0\\ ϕ（1）=a+3≥0\end{array}\right.$，解得：-3≤a≤7
∴实数a的取值范围为[-3，7]．…（8分）
（3）设t=a+5，由（Ⅱ）知，2≤t≤12f（x）的图象如图所示：
设f（x）=T，则f（T）=t
当t=2，即a=-3时，T₁=-1，T₂=ln5，f（x）=-1有两个  解，f（x）=ln5有3个解；
当2＜t＜e²-3，即-3＜a＜e²-8时，T=ln（t+3）且ln5＜T＜2，f（x）=T有3个解；
当t=e²-3，即a=e²-8时，T=2，f（x）=T有2个解；
当e²-3＜t≤12，即e²-8＜a≤7时，T=ln（t+3）＞2，f（x）=T有1个解．
综上所述：
当a=-3时，方程有5个解；
当-3＜a＜e²-8时，方程有3个解．…（12分）

点评 本题考查函数恒成立，二次函数的性质，函数的导数的综合应用，函数的图象以及函数的零点个数的求法，考查分类讨论思想数形结合思想以及转化思想的应用．