Question

3．已知三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，BC⊥CD，BC=CD=4，AB=AD=$2\sqrt{3}$，则三棱锥A-BCD的外接球的大圆面积为9π．

Answer 1

分析 利用已知三棱锥A-BCD的特点AB=AC=AD，先确定△ABD的外心O，及外接圆的半径，然后证明O也是三棱锥A-BCD的外接球的球心，即可解答．

解答 解：∵如图取BD的中点E，连接AE，CE．
则AE⊥BD，CE⊥BD．
∵平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD=BD，
∴AE⊥平面BCD，
又∵CE?平面BCD，
∴AE⊥CE．
设△ABD的外接圆的圆心为O，半径为r．
∵AB=AD，
∴圆心O在AE所在的直线上．
∴r²=BE²+OE²=BE²+（r-AE）²．
∵在Rt△BCD中，BD=$\sqrt{16+16}$=4$\sqrt{2}$．
∴BE=EC=2$\sqrt{2}$．
∴在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{12-8}$=2．
∴r²=8+（r-2）²，解得r=3．
∴OE=1．
在Rt△OEC中，OC=$\sqrt{O{E}^{2}+E{C}^{2}}$=3．
∴OA=OB=OC=OD=3．
∴点O是三棱锥A-BCD的外接球的球心，则球半径R=3．
∴大圆面积S=πR²=9π．
故答案为：9π．

点评 本题考查球内接多面体及其度量，考查空间想象能力，计算能力，解答的关键是确定球心位置，利用已知三棱锥的特点是解决问题关键，属于难题．