Question

13．设直线l为公海的分界线，一巡逻艇在A处发现了北偏东60°的海面B处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮C航行，以便上海轮后逃窜．已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，A与公海相距约为20海里，走私船可能向任一方向逃窜，请回答下列问题：
（1）如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，那么走私船能被截获的点是哪些？
（2）根据截获点的轨迹，探讨“可截获区域”和“非截获区域”．

Answer 1

分析 以A为原点，以正东方向为x轴，以海里为单位建立直角坐标系，设|AB|=2t（t＞0）；
（1）设截获点为P（x，y），利用|PA|=2|PB|得出截获点的轨迹是圆；
（2）设点Q（x，y）在截获点所在的圆内部，列出不等式求出可截获区域和非截获区域．

解答 解：以A为原点，以正东方向为x轴，并以海里为单位建立直角坐标系，
如图所示；
设|AB|=2t，（t＞0），则$B=（\sqrt{3}t，t）$；
（1）设截获点为P（x，y），则|PA|=2|PB|，
即$\sqrt{{x^2}+{y^2}}=2\sqrt{（x-\sqrt{3t{）^2}}+{{（y-t）}^2}}$，
化简得${（x-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}t）^2}+{（y-\frac{4}{3}t）^2}={（\frac{4}{3}t）^2}$；
所以，截获点的轨迹是以$D（\frac{{4\sqrt{3}}}{3}t，\frac{4}{3}t）$为圆心，$\frac{4}{3}t$为半径的圆；
（2）设点Q（x，y）在圆D内部，则
${（x-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}t）^2}+{（y-\frac{4}{3}t）^2}＜{（\frac{4}{3}t）^2}$，
化简得$\sqrt{{x^2}+y{\;}^2}＞2\sqrt{（x-\sqrt{3t{）^2}}+{{（y-t）}^2}}$，
即|QA|＞2|QB|；
所以，可截获区域为领海上的圆D外部，
非截获区域为领海上的圆D内部．

点评 本题考查了圆的方程与方向向量的应用问题，也考查了数学建模的应用问题，是综合性题目