Question

2．函数f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$，若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线e²x-y+e=0垂直（其中e为自然对数的底数）．
（1）求f（x）的单调区间和极值．
（2）求证：当x＞1时，$\frac{f（x）}{e+1}$＞$\frac{2{e}^{x-1}}{（x+1）（x{e}^{x}+1）}$．

Answer 1

分析 （1）先利用导数的几何意义求出k的值，然后利用导数求该函数单调区间及其极值；
（2）由题意可知，原不等式可化为函数$\frac{1}{e+1}$•$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$＞$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$，分别构造函数g（x）=$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$，h（x）=$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$，分别求导，根据导数和函数最值的关系即可证明

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{1-a-lnx}{{x}^{2}}$，
f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为-$\frac{a}{{e}^{2}}$，由切线与直线e²x-y+e=0垂直，
可得f′（e）=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，即有-$\frac{a}{{e}^{2}}$=-$\frac{1}{{e}^{2}}$，解得a=1，
∴f（x）=$\frac{1+lnx}{x}$，f′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$（x＞0）
当0＜x＜1，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
∴x=1是函数f（x）的极大值点，极大值为f（1）=1，无极小值，
（2）不等式$\frac{f（x）}{e+1}$＞$\frac{2{e}^{x-1}}{（x+1）（x{e}^{x}+1）}$．
即为$\frac{1}{e+1}$•$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$＞$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$
令g（x）=$\frac{（x+1）（lnx+1）}{x}$
则g′（x）=$\frac{x-lnx}{{x}^{2}}$，
再令φ（x）=x-lnx，则φ′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
∵x＞1∴φ′（x）＞0，φ（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴φ（x）＞φ（1）=1＞0，g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴x＞1时，g（x）＞g（1）=2，
故$\frac{g（x）}{e+1}$＞$\frac{2}{e+1}$ 
故令h（x）=$\frac{2{e}^{x-1}}{x{e}^{x}+1}$，
则h′（x）=$\frac{2{e}^{x-1}（1-{e}^{x}）}{（x{e}^{x}+1）^{2}}$，
∵x＞1∴1-e^x＜0，h′（x）＜0，即h（x）在（1，+∞）上是减函数
∴x＞1时，h（x）＜h（1）=$\frac{2}{e+1}$，
∴$\frac{g（x）}{e+1}$＞h（x），
∴当x＞1时，$\frac{f（x）}{e+1}$＞$\frac{2{e}^{x-1}}{（x+1）（x{e}^{x}+1）}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值，同时考查构造函数求导数，判断单调性，运用单调性证明不等式，属于中档题．