Question

10．若函数f（x）=2cos2x+asinx-4在$[{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}]$内的图象恒在x轴下方，则a的取值范围为a＜4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 化简函数f（x），设t=sinx，得二次函数f（t）开口向下的抛物线；
讨论（1）a＜0时f（t）的最大值f（$\frac{1}{2}$）＜0，求出a的取值范围；
（2）a＞0时分三种情况讨论，分别求出f（t）的最大值，
令最大值小于0，求出对应a的取值范围，即可得出结论．

解答 解：函数f（x）=2cos2x+asinx-4
=2-4sin²x+asinx-4
=-4（sinx-$\frac{a}{8}$）²+$\frac{{a}^{2}}{16}$-2，
设t=sinx，x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]；
所以二次函数f（t）是以t=$\frac{a}{8}$为对称轴且开口向下的抛物线；
（1）当a＜0时，对称轴t=$\frac{a}{8}$在y轴的左侧，
由于当x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，sinx∈[$\frac{1}{2}$，1]；
所以f（t）的最大值是f（$\frac{1}{2}$）=-3+$\frac{1}{2}$a＜0，
解得a＜6，取a＜0；
（2）当a＞0时，分以下三种情况进行讨论：
①当$\frac{1}{2}$＜$\frac{a}{8}$＜1 时，即4＜a＜8，f（t）的最大值是f（$\frac{a}{8}$）=$\frac{{a}^{2}}{16}$-2＜0，
解得-4$\sqrt{2}$＜a＜4$\sqrt{2}$，取4＜a＜4$\sqrt{2}$；
②当0≤$\frac{a}{8}$≤$\frac{1}{2}$时，即0≤a≤4，f（t）的最大值是f（$\frac{1}{2}$）=-3+$\frac{1}{2}$a＜0，
解得a＜6，取0≤a≤4；
③当$\frac{a}{8}$≥1时，即a≥8，f（t）的最大值是f（1）=-6+a＜0，
解得a＜6，不合题意应舍去；
由（1）、（2）知，a的取值范围是a＜4$\sqrt{2}$．
故答案为：a＜4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角函数的变换，二次函数的标准形式以及对称轴的应用问题，解题的关键是对参数a进行分类讨论，是难题．