Question

4．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（0＜b＜3）$的左、右焦点分别为F₁、F₂，椭圆上存在一点A，使得AF₁=2AF₂，且∠F₁AF₂=90°
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l：x=1与椭圆C交于P，Q两点，点M为椭圆C上一动点，直线PM，QM与x轴分别交于点R，S，求证：|OR|•|OS|为常数（O为原点），并求出这个常数．

Answer 1

分析 （1）由已知列式求得c²，结合隐含条件求得b²，则椭圆方程可求；
（2）把x=1代入椭圆方程，求出P，Q的坐标，设出M的坐标，分别写出PM，QM的方程，取y=0求出R，S的横坐标，代入|OR|•|OS|，结合M在椭圆上可得|OR|•|OS|为常数9．

解答 （1）解：由AF₁=2AF₂，且∠F₁AF₂=90°，得$\left\{\begin{array}{l}{A{F}_{1}=2A{F}_{2}}\\{A{F}_{1}+A{F}_{2}=6}\\{A{{F}_{1}}^{2}+A{{F}_{2}}^{2}=4{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：c²=5，∴b²=a²-c²=4，
∴椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）证明：把x=1代入椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，得P（1，$\frac{4\sqrt{2}}{3}$），Q（1，-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$），
设M（x₀，y₀），则${k}_{PM}=\frac{{y}_{0}-\frac{4\sqrt{2}}{3}}{{x}_{0}-1}$，直线PM：$y-\frac{4\sqrt{2}}{3}=\frac{{y}_{0}-\frac{4\sqrt{2}}{3}}{{x}_{0}-1}（x-1）$，
取y=0，可得${x}_{R}=\frac{3{y}_{0}-4\sqrt{2}{x}_{0}}{3{y}_{0}-4\sqrt{2}}$；同理可得：x_S=$\frac{3{y}_{0}+4\sqrt{2}{x}_{0}}{3{y}_{0}+4\sqrt{2}}$．
∴|OR|•|OS|=|$\frac{9{{y}_{0}}^{2}-32{{x}_{0}}^{2}}{9{{y}_{0}}^{2}-32}$|，①
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}=1$，∴$9{{y}_{0}}^{2}=36-4{{x}_{0}}^{2}$，代入①，得|OR|•|OS|=|$\frac{9{{y}_{0}}^{2}-32{{x}_{0}}^{2}}{9{{y}_{0}}^{2}-32}$|=|$\frac{36（1-{{x}_{0}}^{2}）}{4（1-{{x}_{0}}^{2}）}$|=9．
∴|OR|•|OS|为常数9．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．