Question

14．已知关于x的方程（m+1）x²+2（2m+1）x+1-3m=0的两根为x₁，x₂，若x₁＜1＜x₂＜3，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据一元二次方程根的分布求解即可．

解答 解：方程（m+1）x²+2（2m+1）x+1-3m=0的两根为x₁，x₂，
∴m+1≠0，
令f（x）=（m+1）x²+2（2m+1）x+1-3m，
∵两根为x₁，x₂，且x₁＜1＜x₂＜3，
①当m+1＞0时，即m＞-1，且f（1）•f（3）＜0，
f（1）=m+1+2（2m+1）+1-3m＜0，解得：m＜-2
f（3）=9（m+1）+6（2m+1）+1-3m＞0，解得：m$＞-\frac{8}{9}$
此时m无解．
②当m+1＜0，即m＜-1．且f（1）•f（3）＜0，
f（1）=m+1+2（2m+1）+1-3m＞0，解得：m＜-2
f（3）=9（m+1）+6（2m+1）+1-3m＜0，解得：m$＜-\frac{8}{9}$
则此可得：-2＜m＜-1．
故得实数m的取值范围时（-2，-1）．

点评 本题主要考查二次方程和二次函数之间的关系，利用二次函数根的分布是解决本题的关键．