Question

19．设f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f′（x），若f（x）-f′（x）＜1，f（0）=2016，则不等式f（x）＞2015e^x+1的解集为（　　）

• A． （-∞，0）∪（0，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （2015，+∞）
• D． （-∞，0）∪（2015，+∞）

Answer 1

分析 设g（x）=e^-xf（x）-e^-x，利用导数性质得y=g（x）在定义域上单调递增，从而得到g（x）＞g（0），由此能求出f（x）＞2015•e^x+1（其中e为自然对数的底数）的解集．

解答 解：设g（x）=e^-xf（x）-e^-x，
则g′（x）=-e^-xf（x）+e^-xf′（x）+e^-x=-e^-x[f（x）-f′（x）-1]，
∵f（x）-f′（x）＜1，∴f（x）-f′（x）-1＜0，
∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，
∵f（x）＞2015•e^x+1，∴g（x）＞2015，
∵g（0）=e^-0f（0）-e^-0=f（0）-1=2016-1=2015，
∴g（x）＞g（0）．∴x＞0，
∴f（x）＞2015•e^x+1（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．
故选：B．

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属于中档题．