Question

14．已知f（x）=x³-ax²-3x，其中a∈R．
（1）当a=4时，求f（x）在[-1，1]上的最大值；
（2）若f（x）在[1，+∞）上存在单调递减区间，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；
（2）求出函数的导数，根据二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）f（x）=x³-4x²-3x，f′（x）=3x²-8x-3=（3x+1）（x-3），
∴f（x）在（-1，-$\frac{1}{3}$）上单调递增，在（-$\frac{1}{3}$，1）上单调递减，
∴f（x）_max=f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{14}{27}$；
（2）f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）上存在单调递减区间
∴①f′（1）＜0，解得：a＞0，
②$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）≥0}\\{{x}_{0}=\frac{a}{3}＞1}\end{array}\right.$，无解，
综上：a＞0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．