Question

9．已知函数f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a∈R时，求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）首先求出函数的定义域，把a=1代入函数解析式后，求出函数的导函数，由导函数等于0求出函数的极值点，结合定义域可得函数在定义域内取得最值的情况，从而求出函数的最值．
（2）把原函数求导后，对参数a进行分类，根据a的不同取值得到导函数在不同区间内的符号，从而得到原函数的单调区间．

解答 解：（1）函数f（x）=x²-ax-aln（x-1）（a∈R）的定义域是（1，+∞）
当a=1时，f（x）=x²-x-ln（x-1），
f′（x）=2x-1-$\frac{1}{x-1}$=$\frac{2x（x-\frac{3}{2}）}{x-1}$，
当x∈（1，$\frac{3}{2}$）时，f′（x）＜0，
所以f （x）在（1，$\frac{3}{2}$）为减函数．
当x∈（$\frac{3}{2}$，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f （x）在（$\frac{3}{2}$，+∞）为增函数，
则当x=$\frac{3}{2}$时，f（x）有极小值，也就是最小值．
所以函数f （x）的最小值为f（$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{4}$+ln2；
（2）f′（x）=2x-a-$\frac{a}{x-1}$=$\frac{2x（x-\frac{a+2}{2}）}{x-1}$，
若a≤0时，则 $\frac{a+2}{2}$≤1，f′（x）＞0在（1，+∞）恒成立，
所以f（x）的增区间为（1，+∞）．
若a＞0，则 $\frac{a+2}{2}$＞1，故当x∈（1，$\frac{a+2}{2}$]，f′（x）≤0，
当x∈[$\frac{a+2}{2}$，+∞）时，f′（x）≥0，
所以a＞0时f（x）的减区间为（1，$\frac{a+2}{2}$]，f（x）的增区间为[$\frac{a+2}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了利用导数研究函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b） 比较而得到的．考查了利用导数研究函数的单调性，函数的导函数在（a，b）内恒大于等于0，原函数在该区间内单调递增，函数的导函数在（a，b）内恒小于等于0，原函数在该区间内单调递减，此题是中档题．