Question

18．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=3
（1）求AC₁与B₁C所成角的余弦值
（2）求二面角A₁-BC-A的正弦值．

Answer 1

分析 （1）以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AC₁与B₁C所成角的余弦值．
（2）求出平面A₁BC的法向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出二面角A₁-BC-A的正弦值．

解答 解：（1）以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，3，0），C₁（0，0，3），B₁（4，0，3），C（0，0，0），
$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（0，-3，3），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-4，0，-3），
设AC₁与B₁C所成角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{{B}_{1}C}|}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|•|\overrightarrow{{B}_{1}C}|}$=$\frac{9}{3\sqrt{2}•5}$=$\frac{3\sqrt{2}}{10}$．
∴AC₁与B₁C所成角的余弦值为$\frac{3\sqrt{2}}{10}$．
（2）A₁（0，3，3），B（4，0，0），$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（0，3，3），$\overrightarrow{CB}$=（4，0，0），
设平面A₁BC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{A}_{1}}=3y+3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=4x=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角A₁-BC-A的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴sin$θ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴二面角A₁-BC-A的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．