Question

13．已知函数f（x）=e^x-ax，a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=0处的切线过点（1，0），求a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在（-1，+∞）上不存在零点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若a=1，求证：对$x∈R，f（x）≥\frac{1+x}{f（x）+x}$恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函数的导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得a；
（Ⅱ）由题意可得a=$\frac{{e}^{x}}{x}$在x＞-1无解，设h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，求得导数，单调区间和极值，即可得到a的范围；
（Ⅲ）a=1，根据导数和函数的最值的关系，求出f（x）_min=f（0）=1，设g（x）=$\frac{1+x}{f（x）+x}$=$\frac{1+x}{{e}^{x}}$，根据导数和函数的最值的关系求出g（x）_max=g（0）=1，问题得以证明．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=e^x-ax的导数为f′（x）=e^x-a，
函数f（x）在x=0处的切线斜率为1-a，
在x=0处的切线过点（1，0），可得1-a=-1，
解得a=2；
（Ⅱ）函数f（x）在（-1，+∞）上不存在零点，即为
a=$\frac{{e}^{x}}{x}$在x＞-1无解，
设h（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
即有h′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-1）}{{x}^{2}}$，
当-1＜x＜0，或0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减；
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）递增．
则x＞0时，x=1处h（x）取得最小值e，-1＜x＜0时，h（x）＜-$\frac{1}{e}$．
则有a的范围是-$\frac{1}{e}$≤a＜e；
故a的求值范围为[-$\frac{1}{e}$，e]
（Ⅲ）证明：a=1，f（x）=e^x-x，
∴f′（x）=e^x-1，
当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）在x=0处取得最小值，f（x）_min=f（0）=1，即f（x）≥1，
设g（x）=$\frac{1+x}{f（x）+x}$=$\frac{1+x}{{e}^{x}}$，
则g′（x）=-$\frac{x}{{e}^{x}}$，当x∈（-∞，0）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
∴当x=0时取的最大值，g（x）_max=g（0）=1，即g（x）≤1，
∴f（x）≥g（x），
即对$x∈R，f（x）≥\frac{1+x}{f（x）+x}$恒成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查函数方程的转化思想和不等式的证明，注意运用构造函数，求得单调性解决，属于中档题．