Question

8．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求PB和平面PAD所成角的正弦值．
（2）求面PAD和面PBC所成二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PB和平面PAD所成角的正弦值．
（2）求出平面PAD的法向量和平面PBC的法向量，利用向量法能求出面PAD和面PBC所成二面角的大小．

解答 解：（1）：建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（1，-1，0），B（1，1，0），D（0，0，0），（0，1，0），P（0，0，1），
∴$\overrightarrow{PA}$=（1，-1，-1），$\overrightarrow{PB}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{PD}$=（0，0，-1），
设平面PAD的法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PA}=x-y-z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，0），
设PB和平面PAD所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{PB}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{3}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴PB和平面PAD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（2）平面PAD的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，1，0），
C（0，1，0），$\overrightarrow{PC}$=（0，1，-1），
平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=a+b-c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=b-c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
设面PAD和面PBC所成二面角为α，
则cosα=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，∴α=60°，
∴面PAD和面PBC所成二面角的大小为60°．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．