Question

3．已知函数$f（x）=x-\frac{a}{x}$，g（x）=2ln（x+m）．
（1）当m=0，存在x₀∈[$\frac{1}{e}$，e]（e为自然对数的底数），使$f（{x_0}）≥\frac{{g（{x_0}）}}{x_0}$，求实数a的取值范围；
（2）当a=m=1时，设H（x）=xf（x）+g（x），在H（x）的图象上是否存在不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂＞-1），使得H（x₁）-H（x₂）=$H'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）•（{x_1}-{x_2}）$？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）x₀f（x₀）≥g（x₀）可化为$a≤{x_0}^2-2ln{x_0}$，
构造h（x）=x²-2lnx，求出其值域即可．
（2）$\frac{{H（{x_1}）-H（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{2}{{{x_1}-{x_2}}}ln\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}+（{x_1}+{x_2}）$；$H'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）=\frac{4}{{{x_1}+{x_2}+2}}+（{x_1}+{x_2}）$；
故可化为$\frac{2}{{{x_1}-{x_2}}}ln\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}$=$\frac{4}{{{x_1}+{x_2}+2}}$，即$ln\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}$=$\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}+{x_2}+2}}$
又即$ln\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}$=$\frac{{2[（{x_1}+1）-（{x_2}+1）]}}{{（{x_1}+1）+（{x_2}+1）}}=\frac{{2[\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}-1]}}{{\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}+1}}$①，
令$\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}=t（t＞1）$，①式可化为$lnt=\frac{2（t-1）}{t+1}$
令$u（t）=lnt-\frac{2（t-1）}{t+1}$，$u'（t）=\frac{{{{（t-1）}^2}}}{{t{{（t+1）}^2}}}＞0$，只需考查u（t）的值域即可．

解答 解：（1）x₀f（x₀）≥g（x₀）可化为$a≤{x_0}^2-2ln{x_0}$，
令h（x）=x²-2lnx，则$h'（x）=\frac{2（x+1）（x-1）}{x}（x＞0）$
∴当x∈$[\frac{1}{e}，1）$时，h'（x）＜0；当x∈（1，e]时，h'（x）＞0；
又∵$h（\frac{1}{e}）=\frac{1}{e^2}+2＜h（e）={e^2}-2$，∴$h{（x）_{max}}={e^2}-2$，则a≤e²-2．…5分
（2）H（x）=x²+2ln（x+1）-1，$H'（x）=\frac{2}{x+1}+2x$；
$\frac{{H（{x_1}）-H（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{2}{{{x_1}-{x_2}}}ln\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}+（{x_1}+{x_2}）$；
$H'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）=\frac{4}{{{x_1}+{x_2}+2}}+（{x_1}+{x_2}）$；
故可化为$\frac{2}{{{x_1}-{x_2}}}ln\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}$=$\frac{4}{{{x_1}+{x_2}+2}}$，即$ln\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}$=$\frac{{2（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}+{x_2}+2}}$…7分
又即$ln\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}$=$\frac{{2[（{x_1}+1）-（{x_2}+1）]}}{{（{x_1}+1）+（{x_2}+1）}}=\frac{{2[\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}-1]}}{{\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}+1}}$①，
令$\frac{{{x_1}+1}}{{{x_2}+1}}=t（t＞1）$，①式可化为$lnt=\frac{2（t-1）}{t+1}$，…9分
令$u（t）=lnt-\frac{2（t-1）}{t+1}$，$u'（t）=\frac{{{{（t-1）}^2}}}{{t{{（t+1）}^2}}}＞0$，∴u（t）在（1，+∞）上递增…11分
∴u（t）≥u（1）=0；∴u（t）无零点，故A、B两点不存在．…12分．

点评 本题考查导数的几何意义、运算及应用，涉及分离变量、构造函数、换元法以及转化思想，属于中档题．