Question

14．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，π），且tanα=$\frac{cosβ}{1-sinβ}$，则（　　）

• A． 2$α+β=\frac{π}{2}$
• B． 3$α+β=\frac{π}{2}$
• C． 2$α-β=\frac{π}{2}$
• D． 3$α-β=\frac{π}{2}$

Answer 1

分析 由已知等式化弦为切，再由角的范围可得$α=\frac{π}{4}+\frac{β}{2}$，进一步得到2$α-β=\frac{π}{2}$．

解答 解：由tanα=$\frac{cosβ}{1-sinβ}$，得tanα=$\frac{co{s}^{2}\frac{β}{2}-si{n}^{2}\frac{β}{2}}{（cos\frac{β}{2}-sin\frac{β}{2}）^{2}}=\frac{cos\frac{β}{2}+sin\frac{β}{2}}{cos\frac{β}{2}-sin\frac{β}{2}}$=$\frac{1+tan\frac{β}{2}}{1-tan\frac{β}{2}}=\frac{tan\frac{π}{4}+tan\frac{β}{2}}{1-tan\frac{π}{4}tan\frac{β}{2}}$=$tan（\frac{π}{4}+\frac{β}{2}）$，
∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），β∈（0，π），
∴$\frac{π}{4}+\frac{β}{2}$∈（$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$），则$α=\frac{π}{4}+\frac{β}{2}$，
∴2$α-β=\frac{π}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查三角函数的化简求值，考查了倍角公式及两角和的正切，是中档题．