Question

17．如图，已知四边形ABCD满足AD∥BC，AB=AD=CD=$\frac{1}{2}$BC=2，E是BC的中点，将△BAE沿AE折成△B₁AE，使面B₁AE⊥面AECD，F为棱B₁D上一点．
（1）若F为B₁D的中点，求证：B₁D⊥面AEF；
（2）若B₁E⊥AF，求二面角C-AF-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AE的中点M，连接MB₁，MD，推导出AE⊥B₁D，AF⊥B₁D，由此能证明B₁D⊥面AEF．
（2）分别以ME，MD，MB₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-AF-B₁的余弦值．

解答 解：（1）取AE的中点M，连接MB₁，MD，
则AE⊥MB₁，AE⊥MD，所以AE⊥面MDB₁，则AE⊥B₁D，
F为B₁D的中点，AD=AB₁，所以AF⊥B₁D，
所以B₁D⊥面AEF．
（2）如图，分别以ME，MD，MB₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
E（1，0，0），A（-1，0，0），D（0，$\sqrt{3}$，0），B₁（0，0，$\sqrt{3}$），C（2，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{{B}_{1}E}=（1，0，-\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{AC}$=（3，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AD}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{D{B}_{1}}$=（0，-$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
设$\overrightarrow{DF}$=$λ\overrightarrow{D{B}_{1}}$（0≤λ≤1），
则F（0，$\sqrt{3}（1-λ）$，$\sqrt{3}λ$），$\overrightarrow{AF}$=（1，$\sqrt{3}（1-λ），\sqrt{3}λ$），
由$\overrightarrow{{B}_{1}E}•\overrightarrow{AF}$=0，得$λ=\frac{1}{3}，\overrightarrow{AF}=（{1，\frac{2}{3}\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$，
设平面B₁AD的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{D{B}_{1}}=-\sqrt{3}y+\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AD}=x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取z=1，则$y=1，x=-\sqrt{3}$，$\overrightarrow{n_1}=（{-\sqrt{3}，1，1}）$，
设平面ACF的法向量为$\overrightarrow{n_2}=（{a，b，c}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{AF}=0\end{array}\right.得\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}a+b=0\\ \sqrt{3}a+2b+c=0\end{array}\right.$，
取a=1，则$b=-\sqrt{3}，c=\sqrt{3}$，$\overrightarrow{n_2}=（{1，-\sqrt{3}，\sqrt{3}}）$，
$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{-\sqrt{3}}}{{\sqrt{5}•\sqrt{7}}}=-\frac{{\sqrt{105}}}{35}$，
根据$\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}$的方向得二面角C-AF-B₁的余弦值为$-\frac{{\sqrt{105}}}{35}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．