Question

7．已知F₁、F₂分别是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF₁的中点在y轴上，若2∠PF₁F₂=∠F₁PF₂，那么椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，结合三角形中位线定理可知PF₂⊥x轴，又2∠PF₁F₂=∠F₁PF₂，则∠PF₁F₂=30°，再求解直角三角形可得椭圆的离心率．

解答 解：如图，

设线段PF₁的中点为M，则OM∥PF₂，
∴PF₂⊥x轴，
又2∠PF₁F₂=∠F₁PF₂，则∠PF₁F₂=30°，
∴sin30°=$\frac{P{F}_{2}}{{F}_{1}{F}_{2}}=\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{2c}=\frac{1}{2}$，得$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．