Question

15．已知函数f（x）=2sinx（sinx-cosx）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最小值；
（2）若$A∈（0，\frac{π}{4}）$，且$f（\frac{A}{2}）=1-\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，求cosA．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及和差角公式，可得函数f（x）=1-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），进而得到函数f（x）的最小正周期和最小值；
（2）若$A∈（0，\frac{π}{4}）$，且$f（\frac{A}{2}）=1-\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，则$sin（A+\frac{π}{4}）=\frac{4}{5}$，进而得到cosA．

解答 （本题满分9分）
解：函数f（x）=2sinx（sinx-cosx）
=2sin²x-2sinxcosx）
=1-cos2x-sin2x
=1-$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）
（1）函数f（x）的最小正周期是π，最小值是$1-\sqrt{2}$
（2）$f（\frac{A}{2}）=1-\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，即$1-\sqrt{2}sin（A+\frac{π}{4}）=1-\frac{{4\sqrt{2}}}{5}$，
所以$sin（A+\frac{π}{4}）=\frac{4}{5}$，又$A∈（0，\frac{π}{4}）$，
所以$A+\frac{π}{4}∈（\frac{π}{4}，\frac{π}{2}）$，$cos（A+\frac{π}{4}）=\frac{3}{5}$
所以$cosA=cos（A+\frac{π}{4}-\frac{π}{4}）=cos（A+\frac{π}{4}）cos\frac{π}{4}+sin（A+\frac{π}{4}）sin\frac{π}{4}=\frac{{7\sqrt{2}}}{10}$

点评 本题考查的知识点是正弦函数的图象和性质，三角函数的恒等变换，函数的最值及其几何意义，难度中档．