Question

10．设${f_{\;}}（x）=\frac{1}{{{4^x}+2}}$，先分别求f（0）+f（1），f（-1）+f（2），f（-2）+f（3），然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．

Answer 1

分析 利用条件，求f（0）+f（1），f（-1）+f（2），f（-2）+f（3），归纳猜想一般性结论，利用指数的性质给出证明．

解答 解：f（0）+f（1）=$\frac{1}{2}$，
同理可得：f（-1）+f（2）=$\frac{1}{2}$，f（-2）+f（3）=$\frac{1}{2}$．
一般性结论：$f（x）+f（1-x）=\frac{1}{2}$或写成“若x₁+x₂=1，则f（x₁）+f（x₂）=$\frac{1}{2}$．”
证明：$f（x）+f（1-x）=\frac{1}{{{4^x}+2}}+\frac{1}{{{4^{1-x}}+2}}=\frac{1}{{{4^x}+2}}+\frac{4^x}{{{4^x}（{4^{1-x}}+2）}}$=$\frac{1}{{{4^x}+2}}+\frac{4^x}{{{4^{\;}}+2×{4^x}}}=\frac{1}{{{4^x}+2}}+\frac{4^x}{{2（2+{4^x}）}}$=$\frac{{2+{4^x}}}{{2（2+{4^x}）}}=\frac{1}{2}$，

点评 本题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳猜想是关键．