Question

4．设x，y，z均为正实数，则三个数$\frac{x}{z}$+$\frac{x}{y}$，$\frac{y}{x}$+$\frac{y}{z}$，$\frac{z}{x}$+$\frac{z}{y}$（　　）

• A． 都大于2
• B． 都小于2
• C． 至多有一个小于2
• D． 至少有一个不小于2

Answer 1

分析 根据x，y，z均为正实数，由基本不等式即可得出$\frac{x}{z}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}≥6$，这样显然可得出三个数$\frac{x}{z}+\frac{x}{y}，\frac{y}{x}+\frac{y}{z}，\frac{z}{x}+\frac{z}{y}$至少有一个不小于2．

解答 解：∵$\frac{x}{z}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}=（\frac{x}{z}+\frac{z}{x}）$$+（\frac{x}{y}+\frac{y}{x}）+（\frac{y}{z}+\frac{z}{y}）≥2+2+2=6$；
∴$\frac{x}{z}+\frac{x}{y}，\frac{y}{x}+\frac{y}{z}，\frac{z}{x}+\frac{z}{y}$中至少有一个不小于2．
故选D．

点评 考查基本不等式：$a+b≥2\sqrt{ab}$，a，b∈R^*，注意等号成立的条件．