Question

14．已知圆C：x²+y²-2x-24=0，直线ax-y+5=0（a＞0）与圆交于A，B两点．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若弦AB的垂直平分线l过点P（-2，4），求三角形ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化圆的一般方程为标准方程，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离小于半径列式求得a值；
（Ⅱ）求出PC所在直线的斜率，得到AB所在直线的斜率，进一步得到AB方程，由点到直线的距离公式求出圆心C到直线AB的距离，代入三角形面积公式得答案．

解答 解：（Ⅰ）依题意可知：直线l：ax-y+5=0（a＞0）
与圆C：x²+y²-2x-24=0，即（x-1）²+y²=25有两个不同交点，
则圆心C（1，0）到直线l的距离d＜r（r表示圆C的半径），
于是有：$d=\frac{{|{a+5}|}}{{\sqrt{{a^2}+1}}}＜r=5$⇒$|{a+5}|＜5\sqrt{{a^2}+1}$，
不等式两边同时平方可得：（a+5）²＜25（a²+1），
化简整理可得：12a²-5a＞0（a＞0），
解之得：$a＞\frac{5}{12}$．
故所求实数a的取值范围是$a∈（{\frac{5}{12}，+∞}）$；
（Ⅱ）由垂径定理知：弦AB的垂直平分线l′过圆心C（1，0），
又直线l过点P（-2，4），
故可得直线l′的斜率${k_{PC}}=\frac{4-0}{-2-1}=-\frac{4}{3}$，
而弦AB所在直线l斜率k_AB满足k_AB•k_CP=-1，
于是可得：${k_{AB}}=-\frac{1}{{{k_{CP}}}}=\frac{3}{4}$，即有$a={k_{AP}}=\frac{3}{4}$，
从而弦AB所在直线l的方程为$\frac{3}{4}x-y+5=0$，即3x-4y+20=0，
由点到直线的距离公式可得：圆心C（1，0）到直线l的距离为$d=\frac{{|{3×1+20}|}}{{\sqrt{{3^2}+{4^2}}}}=\frac{23}{5}$，
根据垂径定理：${（{\frac{1}{2}|{AB}|}）^2}+{d^2}={r^2}$，
得：${|{AB}|^2}=4（{{r^2}-{d^2}}）=4[{25-{{（{\frac{23}{5}}）}^2}}]=\frac{384}{25}⇒|{AB}|=\frac{{8\sqrt{6}}}{5}$，
故三角形ABC的面积：${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{AB}|d=\frac{1}{2}×\frac{{8\sqrt{6}}}{5}×\frac{23}{5}=\frac{92}{25}\sqrt{6}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，着重考查垂径定理的应用，是中档题．