Question

8．已知圆C：（x-a）²+（y-2+a）²=1，点A（3，0），O为坐标原点．
（Ⅰ）若a=1，求圆C过点A的切线方程；
（Ⅱ）若直线l：x-y+1=0与圆C交于M、N两点，且$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{3}{2}$，求a的值；
（Ⅲ）若圆C上存在点P，满足|OP|=2|AP|，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=1，求出圆C的圆心，利用点斜式设切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径求解k，可得切线方程；
（Ⅱ）利用舍而不求的思想，设M，N的坐标，利用韦达定理，$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{3}{2}$，可求a的值；
（Ⅲ）设出P的坐标，利用|OP|=2|AP|，求a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）若a=1，圆C：（x-1）²+（y-1）²=1，可得圆心为（1，1），半径为r=1．
设斜率存在，过点A的切线方程为：y=k（x-3），A（3，0）在圆外，有两条切线方程．
则由r=d=$\frac{|k-1-3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
解得：k=0或k=$-\frac{4}{3}$．
∴过点A的切线方程为y=0，或4x+3y-12=0．
（Ⅱ）直线l：x-y+1=0与圆C交于M、N两点，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∵$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=$\frac{3}{2}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{3}{2}$…①
联立方程组：$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{{（x-a）}^{2}+（{y-2+a）}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，可得：x₁x₂=a²-a…②
消去x，可得：y₂y₁=a²-a+2…③
把②③代入①解得：a=$\frac{1}{2}$．
（Ⅲ）圆C：（x-a）²+（y-2+a）²=1，圆心为（a，2-a），半径r=1，
圆心在直线y=2-x上，
设P坐标为（x，y），
∵|OP|=2|AP|，
可得：x²+y²=4（x-3）²+4y²
化简可得：x²+y²-8x+12=0，
表示圆心为（4，0），半径r=2的圆．
圆C的圆心为（a，2-a），半径r=1，
圆心在直线y=2-x上，如图：
两圆心的最大距离为1+2=3，
即两圆心的最大距离d≤3，
故得：（4-a）²+（0-2+a）²≤3，
解得：$\frac{5}{2}≤a≤\frac{7}{2}$，
故得a的取值范围是[$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{2}$]．

点评 本题考查圆的切线方程，点到直线的距离公式，圆与圆之间的关系和韦达定理的运用，考查了计算能力，综合性强．