Question

17．设a，b均为正数，且a+b=1，
（Ⅰ）求证：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥4；
（Ⅱ）求证：$\frac{1}{{a}^{2016}}$+$\frac{1}{{b}^{2016}}$≥2²⁰¹⁷．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．
（Ⅱ）根据基本不等式进行证明即可．

解答 （Ⅰ）证明：∵a，b为两个的正数，且a+b=1，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$=（a+b）（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=2+$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=4，当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时取等号．
而a≠b，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$≥4；
（Ⅱ）证明：∵a，b为两个的正数，a+b=1，
∴$\frac{1}{{a}^{2016}}$+$\frac{1}{{b}^{2016}}$≥2$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2016}}•\frac{1}{{b}^{2016}}}$=2×（$\frac{1}{ab}$）¹⁰⁰⁸=2×4¹⁰⁰⁸=2²⁰¹⁷，当且仅当a=b=$\frac{1}{2}$时取等号．
∴$\frac{1}{{a}^{2016}}$+$\frac{1}{{b}^{2016}}$≥2²⁰¹⁷．

点评 本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，正确理解“一正二定三相等”的使用法则是解题的关键，属于基础题．