Question

8．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为3，焦距为6，
（1）求该双曲线方程；
（2）是否存在过点P（1，1）的直线L与该双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB 的中点？若存在，请求出直线L的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 1）设出双曲线方程，由条件可得c，再由离心率公式．可得a，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到双曲线方程；
（2）假设存在，设过P（1，1）的直线方程为：y-1=k（x-1），A，B两点的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），代入双曲线方程，再相减，运用平方差公式和中点坐标公式，及斜率公式，即可得到所求直线的斜率，进而得到直线方程，检验判别式即可判断．

解答 解：（1）设双曲线方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞0，b＞0）
由离心率e=$\frac{c}{a}$=3，即c=3a，焦距为2c=6，则c=3，a=1，
b²=c²-a²=8，
则双曲线方程为：x²-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1；
（2）假设存在过点P（1，1）的直线l与该双曲线交于A，B两点，
且点P是线段AB的中点．
设过P（1，1）的直线方程为：y-1=k（x-1），A，B两点的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{8{x}_{1}^{2}-{y}_{1}^{2}=8}\\{8{x}_{2}^{2}-{y}_{2}^{2}=8}\end{array}\right.$，相减可得，8（x₁-x₂）（x₁+x₂）=（y₁-y₂）（y₁+y₂）
由P为AB的中点，则x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
则k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=8，
即有直线AB的方程：y-1=8（x-1），即有y=8x-7，
$\left\{\begin{array}{l}{y=8x-7}\\{{x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，整理得：56x²-112x+41=0，
检验判别式为△=112²-4×56×41=3360＞0，方程有两个不相等实根．
故存在过点P（1，1）的直线l与该双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．
直线l的方程为y=8x-7．

点评 本题考查双曲线的方程、性质和运用，考查点差法求中点问题，注意检验判别式的符号，考查运算能力，属于中档题．