Question

20．设i为虚数单位，n为正整数．
（1）证明：（cosx+isinx）ⁿ=cosnx+isinnx；
（2）结合等式“[1+（cosx+isinx）]ⁿ=[（1+cosx）+isinx]ⁿ”，证明：1+${C}_{n}^{1}$cosx+${C}_{n}^{2}$cos2x+…+${C}_{n}^{n}$cosnx=2ⁿcosⁿ$\frac{x}{2}$cos$\frac{nx}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用数学归纳法即可证明；
（2）由（1）可知：[1+（cosx+isinx）]ⁿ=$\sum_{r=0}^{n}$${C}_{n}^{r}$（cosx+isinx）^r=$\sum_{r=0}^{n}$${C}_{n}^{r}$（cosrx+isinrx），求得其实部，等式右边[（1+cosx）+isinx]ⁿ=2ⁿcosⁿ$\frac{x}{2}$（cos$\frac{x}{2}$+isin$\frac{x}{2}$）ⁿ=2ⁿcosⁿ$\frac{x}{2}$（+isin$\frac{nx}{2}$），则其实部为2ⁿcosⁿ$\frac{x}{2}$cos$\frac{nx}{2}$，由两个复数相等，其实部也相等，即可证明1+${C}_{n}^{1}$cosx+${C}_{n}^{2}$cos2x+…+${C}_{n}^{n}$cosnx=2ⁿcosⁿ$\frac{x}{2}$cos$\frac{nx}{2}$．

解答 解：（1）证明：①当n=1时，左边=cosx+isinx=右边，此时等式成立；
②假设当n=k时，等式成立，即（cosx+isinx）^k=coskx+isinkx．
则当n=k+1时，（cosx+isinx）^k+1=（cosx+isinx）^k（cosx+sinx）
=（coskx+isinkx）（cosx+isinx）=coskxcosx-sinkxsinx+（coskxsinx+sinkxcosx）i
=cos[（k+1）x]+isin[（k+1）x]，
∴当n=k+1时，等式成立．
由①②得，（cosx+isinx）ⁿ=cosnx+isinnx；
（2）证明：由（1）得：[1+（cosx+isinx）]ⁿ=$\sum_{r=0}^{n}$${C}_{n}^{r}$（cosx+isinx）^r=$\sum_{r=0}^{n}$${C}_{n}^{r}$（cosrx+isinrx），
其实部为1+${C}_{n}^{1}$cosx+${C}_{n}^{2}$cos2x+…+${C}_{n}^{n}$cosnx，
[（1+cosx）+isinx]ⁿ=2ⁿcosⁿ$\frac{x}{2}$（cos$\frac{x}{2}$+isin$\frac{x}{2}$）ⁿ=2ⁿcosⁿ$\frac{x}{2}$（+isin$\frac{nx}{2}$），
其实部为2ⁿcosⁿ$\frac{x}{2}$cos$\frac{nx}{2}$，
由两个复数相等，其实部也相等，即1+${C}_{n}^{1}$cosx+${C}_{n}^{2}$cos2x+…+${C}_{n}^{n}$cosnx=2ⁿcosⁿ$\frac{x}{2}$cos$\frac{nx}{2}$．
∴1+${C}_{n}^{1}$cosx+${C}_{n}^{2}$cos2x+…+${C}_{n}^{n}$cosnx=2ⁿcosⁿ$\frac{x}{2}$cos$\frac{nx}{2}$．

点评 本题考查数学归纳法的应用，考查复数相等的充要条件，二项式的应用，三角恒等变换的应用，考查不等式的证明，属于中档题．