Question

11．S_n=$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{4}^{2}-1}$+…+$\frac{1}{（2n）^{2}-1}$=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 根据 $\frac{1}{{（2n）}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），用裂项法进行数列求和．

解答 解：∵$\frac{1}{{（2n）}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）•（2n-1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴S_n=$\frac{1}{{2}^{2}-1}$+$\frac{1}{{4}^{2}-1}$+…+$\frac{1}{（2n）^{2}-1}$
=$\frac{1}{2}$[（1-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+…+（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n}{2n+1}$，
故答案为：$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．