Question

12．数列{a_n}满足a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=4ⁿ．
（1）求通项a_n；
（2）求数列{a_n}的前n项和 S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=4ⁿ，下推一项后，两式相减即可求得其通项a_n；
（2）n≥2时，利用等比数列的求和公式可求得S_n=4+3×2¹+3×2²+…+3×2^n-1=4+3（2ⁿ-2），再验证n=1是否适合，即可求得数列{a_n}的前n项和 S_n．

解答 解：（1）a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n=4ⁿ，①
∴a₁+2a₂+2²a₃+…+2ⁿa_n+1=4ⁿ⁺¹，②
②-①得2ⁿ a_n+1=3×4ⁿ，
∴a_n+1=3×2ⁿ，
又n=1时a₁=4，∴综上a_n=$\left\{\begin{array}{l}4，（n=1）\\ 3×{2^{n-1}}，（n≥2）\end{array}\right.$为所求；…（8分）
（2）n≥2时，
S_n=4+3×2¹+3×2²+…+3×2^n-1=4+3•$\frac{2（1{-2}^{n-1}）}{1-2}$=4+3（2ⁿ-2），
又n=1时S₁=4也成立，
∴S_n=3×2ⁿ-2…（12分）

点评 本题主要考查数列的基础知识，考查分类讨论的数学思想，考查考生综合应用所学知识创造性解决问题的能力．