Question

5．已知数列{a_n}，a_n=2a_n-1+3，a₁=-1
（1）设b_n=a_n+3，求证：{b_n}为等比数列；
（2）求{$\frac{1}{lo{g}_{2}{b}_{n}lo{g}_{2}{b}_{n+1}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）n≥2，a_n=2a_n-1+3，a₁=-1，变形为a_n+3=2（a_n-1+3），即b_n=2b_n-1，即可证明．
（2）由（1）可得：b_n=2ⁿ.$\frac{1}{lo{g}_{2}{b}_{n}lo{g}_{2}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 （1）证明：∵n≥2，a_n=2a_n-1+3，a₁=-1，∴a_n+3=2（a_n-1+3），
∴b_n=2b_n-1，b₁=2，
∴{b_n}为等比数列，首项为2，公比为2．
（2）解：由（1）可得：b_n=2ⁿ．
$\frac{1}{lo{g}_{2}{b}_{n}lo{g}_{2}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴{$\frac{1}{lo{g}_{2}{b}_{n}lo{g}_{2}{b}_{n+1}}$}的前n项和S_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．