Question

13．已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=$\frac{1}{2}$AB=1，M是PB的中点．
（1）求AC与PB所成的角；
（2）求面AMC与面BMC所成二面角余弦值的大小．

Answer 1

分析 （1）以A为坐标原点，分别以AD、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用$cos＜\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{PB}＞$=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{PB}|}$即可得出．
（2）设 $\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面的ACM的一个法向量，则 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•×\overrightarrow{CM}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．设平面BMC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₀，y₀，z₀），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CM}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{m}$．利用cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}$=即可得出．

解答 解：（1）以A为坐标原点，分别以AD、AB、AP为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），B（0，2，0），M（0，1，$\frac{1}{2}$），
$\overrightarrow{AC}$=（1，1，0），$\overrightarrow{PB}$=（0，2，-1），
∴$cos＜\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{PB}＞$=$\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{AC}||\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴AC与PB所成的角为arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
（2）$\overrightarrow{BC}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{CM}$=（-1，0，$\frac{1}{2}$），
设 $\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面的ACM的一个法向量，
则 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•×\overrightarrow{CM}=0}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{-x+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2）．
设平面BMC的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₀，y₀，z₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CM}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{-x+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{m}$=（1，1，2）．
则cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}×\sqrt{6}}$=$\frac{2}{3}$．
∵面AMC与面BMC所成二面角的平面角是钝角，因此余弦值的大小为-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了空间线面面面垂直的判定与性质定理、二面角、异面直线所成的角、法向量的应用、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．