Question

1．已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F₁，F₂在x轴上，焦距与长轴长的比为$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）求∠F₁AF₂的角平分线所在直线l的方程；
（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得到a与c，b与c的关系，可得椭圆方程为$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$，代入A的坐标求得c值，则椭圆方程可求；
（2）由（1）求出椭圆两个焦点的坐标，得到AF₁、AF₂所在直线方程，设出∠F₁AF₂的角平分线上的点P（x，y），由P到两直线距离相等可得∠F₁AF₂的角平分线所在直线l的方程；
（3）假设存在B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）两点关于直线l对称，则l⊥BC，设直线BC的方程为$y=-\frac{1}{2}x+m$，代入椭圆E的方程，得：x²-mx+m²-12=0．利用根与系数的关系求出BC中点的坐标，代入直线2x-y-1=0求得m值，验证判别式不成立，说明不存在满足题设条件的相异两点．

解答 解：（1）设椭圆E的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），
由$\frac{2c}{2a}=\frac{1}{2}$，得：a=2c，∴b²=a²-c²=3c²，
∴椭圆方程具有形式$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$．
将A（2，3）代入上式，得：$\frac{1}{c^2}+\frac{3}{c^2}=1$，解得：c=2，
∴椭圆E的方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$；
（2）解：由（1）知F₁（-2，0），F₂（2，0），
∴直线AF₁的方程为3x-4y+6=0，直线AF₂的方程为x=2．
由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数．
设点P（x，y）为直线l上任意一点，则$\frac{|3x-4y+6|}{5}=\;|x-2|$，
化简得：x+2y-8=0（斜率为负，舍）或2x-y-1=0．
∴∠F₁AF₂的角平分线所在直线l的方程为2x-y-1=0；
（3）假设存在B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）两点关于直线l对称，则l⊥BC，
∴设直线BC的方程为$y=-\frac{1}{2}x+m$，
代入椭圆E的方程，得：x²-mx+m²-12=0．
由△=m²-4（m²-12）＞0，得：m∈（-4，4）．
由根与系数的关系，得：x₁+x₂=m，于是${y_1}+{y_2}=-\frac{1}{2}（{x_1}+{x_2}）+2m=\frac{3m}{2}$，
∴线段BC的中点坐标为$（{\frac{m}{2}，\;\frac{3m}{4}}）$．
又线段BC的中点$（{\frac{m}{2}，\;\frac{3m}{4}}）$在直线2x-y-1=0上，∴$m-\frac{3m}{4}-1=0$，
解得：m=4∉（-4，4），
∴不存在满足题设条件的相异两点．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查存在性问题的求解方法，是中档题．