Question

8．（1）解不等式|x-2|+|x-5|＜5；
（2）如果关于x的不等式|x-2|+|x-5|＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）利用绝对值三角不等式，求得|x-2|+|x-5|的最小值，可得实数a的取值范围．

解答 解：（1）不等式|x-2|+|x-5|＜5，
等价于$\left\{\begin{array}{l}{x＜2}\\{2-x+5-x＜5}\end{array}\right.$ ①或，$\left\{\begin{array}{l}{2≤x≤5}\\{x-2+5-x＜5}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x＞5}\\{x-2+x-5＜5}\end{array}\right.$③．
解①求得1＜x＜2，解②求得2≤x≤5，解③求得5＜x＜6，
故原不等式的解集为（1，6）．
（2）令y=|x-2|+|x-5|≥|x-2-（x-5）|=3，可得y_min=3，所以a＞3．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，函数的恒成立问题，属于中档题．