Question

13．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}+ax-2{a^2}$lnx（a≠0）．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）先求出函数的定义域，进而根据函数的解析式，求出函数的导函数，分析导函数符号在不同区间上的取值，根据导函数符号与原函数的单调性之间的关系可得结论；
（II）若f（x）＞0恒成立，则f（x）的最小值大于0，根据（I）中结论，求出函数的最小值，代入构造关于a的不等式，解不等式可得a的取值范围

解答 解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），$f'（x）=x+a-\frac{{2{a^2}}}{x}=\frac{{{x^2}+ax-2{a^2}}}{x}=\frac{{（{x+2a}）（{x-a}）}}{x}$
（1）当a＜0时，在（0，-2a）上f'（x）＜0，在（-2a，+∞）上f'（x）＞0．
因此，f（x）在（0，-2a）上递减，在（-2a，+∞）上递增．
（2）当a＞0时，在（0，a）上f'（x）＜0，在（a，+∞）上f'（x）＞0．
因此，f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增．
（II）由（I）知：a＜0时，$f{（x）_{min}}=f（{-2a}）=2{a^2}-2{a^2}-2{a^2}ln（{-2a}）=-2{a^2}ln（{-2a}）$
由f（x）＞0得：$ln（{-2a}）＜0⇒0＜-2a＜1⇒-\frac{1}{2}＜a＜0$，
当a＞0时，$f{（x）_{min}}=f（a）=\frac{1}{2}{a^2}+{a^2}-2{a^2}lna=\frac{3}{2}{a^2}-2{a^2}lna$
由f（x）＞0得：$\frac{3}{2}{a^2}-2{a^2}lna＞0⇒lna＜\frac{3}{4}⇒0＜a＜{e^{\frac{3}{4}}}$
综上得：$a∈（{-\frac{1}{2}，0}）∪（{0，{e^{\frac{3}{4}}}}）$．

点评 本题考查的知识点是利用导数求函数的单调区间和最值，其中熟练掌握参数的处理方法与技巧，是解答的关键，属于中档题．