Question

3．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB=AA₁=$\sqrt{2}$．
（1）证明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（2）求平面C-OB₁-B二面角θ的大小．

Answer 1

分析 （1）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A₁C⊥平面BB₁D₁D．
（2）求出平面OCB₁的一个法向量和平面BB₁D₁D的一个法向量，利用向量法能求出平面C-OB₁-B二面角θ的大小．

解答 证明：（1）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
则由AB=AA₁=$\sqrt{2}$，得A₁（0，0，1），C（-1，0，0），B（0，1，0），D（0，-1，0），D₁（-1，-1，1），
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{BD}$=（0，-2，0），$\overrightarrow{B{D}_{1}}$=（-1，-2，1），B₁（-1，1，1），
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$$•\overrightarrow{BD}$=0，$\overrightarrow{{A}_{1}C}•\overrightarrow{B{D}_{1}}$=0，
∴A₁C⊥BD，A₁C⊥BD₁，
又BD∩BD₁=B，
∴A₁C⊥平面BB₁D₁D．
解：（2）$\overrightarrow{OC}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{O{B}_{1}}$=（-1，1，1），
设平面OCB₁的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OC}=-x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{O{B}_{1}}=-x+y+z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1），
设平面BB₁D₁D的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=-2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{D}_{1}}=-a-2b+c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，1），
则cosθ=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=$\frac{1}{2}$，
∴平面C-OB₁-B二面角θ的大小为60°．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．